avangard-pressa.ru

Задача с граничными условиями (згу). - Математика

Большие системы и метод прямых.

Среда программирования не предназначена для численного анализа очень больших систем, выпол­няемого при некоторых научных исследованиях, но вполне может быть использо­вана при решении достаточно широкого класса систем. Метод прямых (МП) поз­воляет аппроксимировать систему дифференциальных уравнений в частных про­изводных (ДУЧП) системой обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). В результате применения этого метода исходная задача решения системы ДУЧП сводится к решению сравнительно большой и возможно жесткой системы ОДУ. МП широко применяется при решении ДУЧП, но в мы рассмотрим этот метод в контексте задачи численного решения больших систем ОДУ. В системе имеется численная процедура , основанная на исполь­зовании МП и предназначенная для решения небольших систем параболических и эллиптических ДУЧП относительно одной пространственной переменной и неза­висимой переменной времени. Кроме того, в разработанном для наборе программ метод прямых используется для решения системы ДУЧП относительно двух пространственных переменных и переменной времени.

Идея метода прямых заключается в дискретизации всех переменных ДУЧП за исключением одной переменной, в результате чего получается система ОДУ. Этот подход часто называют полудискретизацией ( ). Обычно дискретизируются пространственные переменные, а переменная времени используется в качестве непрерывной переменной. Для дискретизации пространственных пере­менных применяют различные методы. Применение двух из них рассматривается в нижеследующем примере.

ПРИМЕР 2.

В работе [Seydel, 1988] исследовался процесс распространения нервных импульсов, описывающийся системой ОДУ , с периодическими граничными условиями , ).

В условиях, когда период Т нам известен, эти два неразделенных граничных условия совместны, если решение имеет период Т. Однако если при решении задачи мы не задаем величину периода решения, наряду с периодическим решением периода Т необходимо вычислить также и сам период Т, выступающий в этой задаче в качестве неизвестного параметра. Для этого необходимо задать другое граничное условие. Следует отметить, что если — периодическое решение приведенных выше автономных дифференциальных уравнений, то также является решением этих уравнений при любой константе . В качестве искомого граничного условия можно выбрать равенство одной из компонент решения нулю, например, . В этом случае периодическое граничное условие может быть заменено на , поскольку это условие является эквивалентным и разделенным. Таким образом, задача состоит в решении ОДУ при граничных условиях , , , одно из которых является неразделенным. Численная процедура допускает решение задач с неразделенными граничными условиями, однако большинство других численных процедур не предоставляют этой возможности. После решения этой задачи с использованием , мы обсудим вопрос о преобразовании задачи с неразделенными граничными условиями к виду, допускающему использование подобных численных процедур. Основная трудность, с которой приходится сталкиваться при решении рассматриваемой задачи, заключается в том, что длина интервала [0,Т] неизвестна. В основанной на использовании метода пристрелки численной процедуре D02SAF [NAG, 2002] все неизвестные — включая конечные точки интервала, граничные значения и все параметры — рассматриваются как неизвестные параметры и поэтому указанная процедура может быть непосредственно использована при решении рассматриваемой задачи. В этом смысле D02SAF является единственной на сегодняшней день численной процедурой, предоставляющей эту возможность. Для использования других процедур (включая ) необходимо переформулировать исходную задачу, определив ее на фиксированном интервале. Если в качестве независимой переменной t использовать х = t/T, система ОДУ примет следующий вид

Новая задача поставлена на интервале [0,1] с новыми граничными условиями , , , и она может быть легко решена с использованием программы .

ПРИМЕР 3.

Рассмотрена математическая модель процесса впрыска потока жидкости в длинный вертикальный канал. Соответствующая система ОДУ имеет вид

где R — число Рейнольдса и Ре = 0.7R — число Пекле. Параметр А является неизвестным и рассматриваемая система порядка 7 исследуется при восьми граничных условиях

, , ,

, ,

В программе структура-решение служит в качестве структуры-оценки на следующей итерации. Этот подход представляет собой эффективный способ получения решений ЗГУ при различных наборах параметров и может служить в качестве иллюстрации метода продолжения, часто используемого при решении сложных ЗГУ. При большом значении R имеет место пограничный слой, при прохождении через который используется более плотная сетка: устойчивость вычислительного процесса может быть легко обеспечена при значении числа Рейнольдса R = 100, но при R = 10 000 возникают проблемы. Метод продолжения позволяет выявить особенности изменения поведения решения при изменении R и, тем самым, успешно решить ЗГУ при относительно больших значениях R. ЗГУ может быть легко решена при нескольких значениях числа Рейнольдса R. При R = 100 в качестве оценок компонент решения используются постоянные величины 1, а в качестве оценки неизвестного параметра А=1. Соответствующая структура-оценка определяется с использованием функции . Решение, полученное для одного значения R, используется при получении решения для другого значения этого параметра. С использованием программы выводятся графики вычисленных решений, а также значения А.

В представленной версии программы используется векторизация вычислений, а также аналитическое вычисление частных производных.

В рассматриваемом случае система состоит из семи ОДУ и содержит один неизвестный параметр А. Поэтому в качестве массива выступает вектор размерности В рассматриваемом здесь примере для этих целей можно использовать следующую программу

Если в качестве значения числа Рейнольдса выбрать R = 1000 000, численная процедура bvp4c выдает сообщение1

В рассматриваемом примере решение задачи оказалось возможным лишь при увеличении Nmax до 500 и можно сказать, что рассматриваемая задача оказалась достаточно сложной для численной процедуры . Действительно, даже при заданных по умолчанию значениях желаемой точности вычислений для надлежащей аппроксимации решения потребовалось 437 узлов сетки. Общее время выполнения программы составило 22.69 секунд с учетом того, что при этом использовались векторизация вычислений и аналитические выражения для вычисления частных производных.

ПРИМЕР 4.

Метод продолжения имеет чрезвычайно важное значение при практическом решении ЗГУ. Ранее мы познакомились с примерами использования метода продолжения по величине длины интервала. Этот подход представляется естественным методом решения задач, определенных на бесконечных интервалах, но может быть применен и при конечных интервалах интегрирования. Мы также рассматривали пример применения метода продолжения по параметрам системы, имеющим физический смысл. При исследовании подобных систем очень часто бывает необходимо найти решения для различных наборов этих параметров, но иногда полезно рассмотреть задачу, которая зависит от единственного изменяющегося параметра и которая может быть легко решена при заданном значении этого параметра. Решение этой задачи может быть выполнено с метода продолжения по параметру. Предположим, что при решении ЗГУ , мы испытываем трудности, обусловленные тем, что мы не можем найти достаточно точные оценки сетки и решения, обеспечивающие сходимость вычислительного процесса. Предположим также, что упрощенная модель ЗГУ , может быть легко решена, возможно, даже аналитически. Часто бывает полезным аппроксимировать исходную задачу соответствующей линейной задачей, поскольку в этом случае численные процедуры типа наиболее эффективны. Идея заключается в том, чтобы использовать методику продолжения, последовательно решая сначала менее сложную задачу, далее более сложную и, наконец, исходную задачу. Одним из путей реализации этой идеи является введение искусственного параметра μ и решение семейства задач с граничными условиями

где ( принадлежит промежутку от 0 до 1. Этот подход к решению сложных ЗГУ оказался на практике очень полезным, но, к сожалению, он не всегда приводит к успеху. Очевидно, сформулировать более простую задачу, поведение решений которой было бы адекватно поведению решений исходной задачи, непросто, однако это имеет критическое значение для успешного применения рассматриваемой методики. Более того, метод продолжения в рассматриваемой ситуации может оказаться неработоспособным, поскольку при некотором значении параметра μ соответствующая ЗГУ может просто не иметь решения. Успех применения этой методики зависит также и от величины изменения значений параметра ц на каждом шаге процесса продолжения.

Методу продолжения в работе [Roberts & Shipman, 1972]. В целях иллюстрации этой методики мы обсудим примеры 1 и 5, рассмотренные в указанной главе. Исследуемая система ОДУ имеет следующий вид

где n = -0.1 и s = 0.2 — параметры. Эта система должна быть решена на промежутке [0,b] с граничными условиями y1(0)=0, y2(0) = 0, y4(0) = 0, y2(0) = 0, y4(b)= 1, где b = 11.3. Запишем рассматриваемую систему в виде суммы ее линейных членов и нелинейных членов, умноженных на коэффициент

При заданных граничных условиях и при приведенная выше система ОДУ представляет собой линейную аппроксимацию исходной задачи и эта ЗГУ может быть решена при стандартных для подобной ситуации оценках. Далее, решение, полученное при некотором значении , используется в качестве оценки при решении ЗГУ с большим значением . Эта итеративная процедура должна продолжаться до тех пор, пока не будет достигнуто значение , при котором текущая итерация решаемой задачи совпадает с задачей, в решении которой мы были изначально заинтересованы. Программа представляет собой реализацию этой идеи.

Закомментированные строки в тексте программы позволяют включить мониторинг изменения решения ЗГУ при последовательном изменении параметра δ. Можно заметить, что линейная аппроксимация рассматриваемой ЗГУ (при δ = 0) не позволяет получить хорошую аппроксимацию решения задачи (при δ = 1), но, тем не менее, является настолько хорошей аппроксимацией, что обеспечивает сходимость вычислительного процесса при относительно большом шаге изменения значения параметра δ в ходе применения методики продолжения

Задание 5.

Модель распределения концентраций и температур в трубчатом реакторе с рециркуляцией, представленная в виде системы ОДУ

с неразделенными граничными условиями , .

В указанной работе показано, что при значениях параметров

, , , , ,

начальные значения удовлетворяют ( , ) ≈ (0.1, 0.6). Подтвердите этот ре­зультат и выведите график решения. В указанной работе также показано, что если значение параметра изменить на 0.053, то при тех же значениях осталь­ных параметров существует три решения с начальными значениями ( , ), приблизительно равными (0.1, 0.7), (0.3, 1.8) и (0.44,2.6). Для получения опыта найдите все эти три решения, используя в качестве оценок компонент решения постоянные значения.

Задание 6.

Задача о контролере. Соот­ветствующее ДУЗА включает ступенчатую функцию от решения, вычисленную с запаздыванием: при исследуемое уравнение имеет вид Это уравнение решается на интервале [0,120] с функцией истории = 0.6 при t ≤ 0 и при значениях параметров , , , , . Численная процедура достаточно робастна для рассматриваемого случая и может быть использована для решения этой задачи без какого-либо доопределения функции . Тем не менее, соответствующие нарушения непрерывности могут создать определенные проблемы при численном решении ОДУ и в меньшей степени при численном решении ДУЗА. Для того, чтобы быть более уверенным в достоверности полученных численных результатов, следует предпринять определенные шаги для того, чтобы обеспечить гладкость правой части соответствующего дифференциального уравнения. Это может быть сделано по аналогии с тем, как это было сделано в программе : путем задания значения параметра , используемого численной процедурой в качестве значения . Для рассматриваемой в задаче функции истории этот параметр инициализируется значением +1. Используйте опцию Events для прерывания процесса интегрирования в случае, если y(t - 12) - хb = 0. Если это терминальное событие происходит до момента достижения конечной точки интервала интегрирования, измените знак и заново запустите процедуру численного интегрирования на интервале [sol.x(end), 120], используя полученную структуру-решение в качестве параметра, определяющего функцию истории на новом интервале инте­грирования. Обеспечьте вывод на экран компьютера соответствующих сообщений о возникновении подобных событий, а также начальных точек для каждого нового этапа численного интегрирования.

Содержание отчета

1.Титульный лист;

2. Выполненные задания 1…6.

3. Введение (краткое описание предметной области и задачи); графики, Screenshots программной реализации в MATLAB

4. Выводы по работе.

Самостоятельная работа

Темы контрольных заданий

1. Методы построения нечетких моделей.

2. Анализ нечетких моделей технологических процессов.

3. Методы обучения нейронных сетей.

4. Нейронные сети Хопфилда.

5. Нейронные сети Хэмминга.

6. Алгоритмы нечеткого контроля и управления.

7. Алгоритм уточнения лингвистических критериев.

8. Алгоритмы обучения.

9. Когнитрон. Неокогнитрон.

10. Двунаправленная ассоциативная память.

Примерные вопросы к зачету с оценкой

1. Особенности реализации нейронных сетей для целей управления.

2. Подходы к нейронному управлению.

3. Идентификация динамических систем на основе нейросетевых технологий.

4. Планирование и проведение эксперимента при идентификации.

5. Оптимизация параметров и адекватность нейросетевой модели.

6. Принципы построения нейросетевых регуляторов.

7. Последовательные схемы нейронного управления с использованием схем обратного отображения, прямой и инверсной модели.

8. Оценка алгоритмов обучения на основе моделирования.

9. Параллельные схемы управления нейронными сетями.

10. Схемы нейронного управления с самонастройкой.

11. Методы построения нечетких моделей.

12. Идентификация статических моделей с нечеткими характеристиками.

13. Анализ нечетких моделей технологических процессов.

14. Оптимизация управления объектами в нечеткой среде.

15. Нечеткие регуляторы.

16. Общие положения нечеткой логики для задач нечеткого управления.

17. Представление знаний, база знаний и механизм вывода.

18. Лингвистические правила управления.

19. Представление нечеткостей и формирование функций принадлежности.

20. Нечеткий вывод на основе косвенного метода.

21. Итеративная настройка параметров нечеткого регулятора и настройка параметров в реальном времени.

22. Программная реализация нечетких регуляторов.

23. Средства поддержки разработки интеллектуальных систем.

24. Основы программирования в среде .

25. Библиотека проектирования нейронных сетей , нечетких моделей в среде .

26. Система разработки нечетких моделей .

27. Программирование контроллеров с использованием языка (FCL) и его реализация в стандарте IEC61131-7.

Самостоятельная работа студентов должна носить систематический характер. После изучения определенных тем контрольных заданий (СРС) проводится контроль самостоятельной работы (КСР).

Номер тем дисциплины Объем КСР, час 1-5 6-10 Итого

Список использованной литературы

1. А.Ф.Алексеев, Ф.Ф.Алексеев, Г.Л.Дегтярев. Анализ и синтез нечетких систем управления с запаздыванием и импульсами. Вестник КГТУ им. А.Н.Туполева. 2012. № 2. С. 274-281.

2. Алексеев А.Ф., Горшкова К.Л., Широков П.С. Синтез нечетких нейрорегуляторов для систем управления сложными объектами с применением динамических сетей и генетических алгоритмов // XII Всероссийское совещание по проблемам управления ВСПУ-2014. Москва, 16-19 июня 2014г.: Труды. [Электронный ресурс] М.: Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, 2014. С.1937-1945.

3. Гибридные адаптивные интеллектуальные системы. Часть 1. Теория и технология разработки [Электронный ресурс]: монография/ П.М. Клачек [и др.].— Электрон. текстовые данные.— Калининград: Балтийский федеральный университет им. Иммануила Канта, 2011.— 375 c.— Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/23834.— ЭБС «IPRbooks».

4. Горшкова К.Л. «Системный анализ и автоматическое управление процессом транспортировки вязкой нефти». Диссертация на соискание кандидата технических наук. – Альметьевск, 2015. – с. 165.

5. Гостев В.И. Проектирование нечетких регуляторов для систем автоматического управления. – СПб.: БХВ-Петербург, 2011.416с.

6. Дьяконов В., Круглов В. Математические пакеты расширения MATLAB: специальный справочник. – СПб.: Питер, 2001. – 480 с.

7. Заде Л.А. Понятие лингвистической переменной и ее применение к принятию приближенных решений. -М.: Мир, 1976.

8. Интеллектуальные системы [Электронный ресурс]: учебное пособие/ А.М. Семенов [и др.].— Электрон. текстовые данные.— Оренбург: Оренбургский государственный университет, ЭБС АСВ, 2013.— 236 c.— Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/30055.— ЭБС «IPRbooks».

9. Пегат А. Нечеткое моделирование и управление / А. Пегат; пер. с англ. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012. – 798 с.

10. Тарков М.С. Нейрокомпьютерные системы - Москва Интернет-Университет информационных технологий, 2006. -143c.

11. Яхъяева Г.Э. Нечеткие множества и нейронные сети. - Москва, Интернет -Университет информационных технологий. Бином, 2008. -320c.

Приложение А

Задания для решения основных операций над множествами.

1Пусть на универсальном множестве E заданы нечеткие множества A, B, C: , , . Определить, выполняются ли условия: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) . Рассчитать: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 2Пусть на универсальном множестве E заданы нечеткие множества A, B, C: , , . Определить, выполняются ли условия: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) . Рассчитать: 1) ; 2) 3) ; 4) . 3Пусть на универсальном множестве E заданы нечеткие множества A, B, C: , , . Определить, выполняются ли условия: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) . Рассчитать: 1) ; 2) 3) ; 4) . 4Пусть на универсальном множестве E заданы нечеткие множества A, B, C: , . Определить, выполняются ли условия: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) . Рассчитать: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 5Пусть на универсальном множестве E заданы нечеткие множества A, B, C: , . Определить, выполняются ли условия: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) . Рассчитать: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 6Пусть на универсальном множестве E заданы нечеткие множества A, B, C: , . Определить, выполняются ли условия: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) . Рассчитать: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 7Пусть на универсальном множестве E заданы нечеткие множества A, B, C: , . Определить, выполняются ли условия: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) . Рассчитать: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 8Пусть на универсальном множестве E заданы нечеткие множества A, B, C: , . Определить, выполняются ли условия: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) . Рассчитать: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 9Пусть на универсальном множестве E заданы нечеткие множества A, B, C: , . Определить, выполняются ли условия: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) . Рассчитать: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 10Пусть на универсальном множестве E заданы нечеткие множества A, B, C: , . Определить, выполняются ли условия: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) . Рассчитать: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .