avangard-pressa.ru

Задача 9. Числовые характеристики суммы и произведения случайных величин - Математика

Условия вариантов задачи

В задачах 9.1-9.40 вычислить математическое ожидание и дисперсию величин U и V, а так же определить их коэффициент корреляции :

.

Конкретные значения коэффициентов и числовые характеристики случайных величин приведены в табл. 9.1.

Таблица 9.1

Вариант a0 a1 a2 b0 b1 b2 m1 m2 m3 D1 D2 D3 K12 K23 K13 9.1 -9 -1 -3 -2 -1,5 9.2 -8 -4 9.3 -7 -5 2,5 9.4 -6 -6 -1 9.5 -5 -7 -2 -1 1,5 -1 9.6 -4 -8 -2 -1 -1,5 4,5 9.7 -3 -9 -1 -5 -2 9.8 -2 -8 -2 -5 -2 -4 9.9 -1 -9 -7 -3 9.10 -8 -6 -4 -5 2,5 9.11 -1 -7 -5 -5 9.12 -2 -6 -4 -6 -1 9.13 -3 -5 -3 -7 -1 9.14 -4 -4 -2 -8 9.15 -5 -3 -1 -9 -1 9.16 -6 -2 -8 -5 -2 -4 -3 9.17 -7 -1 -7 -2 -3 9.18 -8 -6 -2 -4 -7,5 9.19 -1 -9 -5 -2 -5 9.20 -9 -2 -8 -4 -6 1,5 -1,5 9.21 -8 -3 -7 -3 -7 4,5 9.22 -7 -4 -6 -2 -8 9.23 -6 -5 -5 -1 -9 -4 9.24 -5 -6 -4 -9 -8 -4 9.25 -4 -7 -3 -7 7,5 12,5 9.26 -3 -8 -2 -6 7,5 7,5 9.27 -2 -9 -1 -5 -7,5 7,5 9.28 -1 -1 -4 1,5 7,5 9.29 -9 -3 -1,5 7,5 9.30 -8 -2 1,5 7,5 9.31 -7 -1 -1 9.32 -6 9.33 -5 -1 9.34 -4 -9 1,5 9.35 -3 -8 -1,5 9.36 -2 -7 9.37 -1 -6 -2 -2 9.38 -5 9.39 -4 -1 -1 -4 9.40 -3 -2 -2

Методические указания

Числовые характеристики суммы

Пусть , где – не случайные коэффициенты, тогда

– математическое ожидание Y равно

, (9.1)

где – математическое ожидание СВ Xi;

– дисперсия Y равно:

, (9.2)

где – дисперсия СВ Xi ,

– корреляционный момент величин X1 и X2.

Если , – не случайные коэффициенты, то математическое ожидание и дисперсия величины Y равны

; (9.3)

. (9.4)

Числовые характеристики произведения

Пусть , где – не случайный коэффициент, то математическое ожидание Y равно:

; (9.5)

где – математическое ожидание СВ Xi ,

– корреляционный момент величин X1 и X2.

Если , то математическое ожидание Y равно

; (9.6)

В случае независимых сомножителей и дисперсия может быть определена по формуле

. (9.7)

Если , где Xi – независимые случайные величины, то математическое ожидание и дисперсия Y равны

; (9.8)

. (9.9)

Примеры

Пример 9.1. Вычислить математическое ожидание и дисперсию величин U и V, а так же определить их коэффициент корреляции :

Величины , , имеют следующие числовые характеристики:

Решение. Вычислим математические ожидания U и V по формуле (9.1):

Вычислим дисперсии DU и DV по формуле (9.2):

Рассчитаем корреляционный момент по формуле (8.10):

.

Для этого определим математическое ожидание произведения величин U и V :

Таким образом

Величину определим по формуле (8.11):

Контрольная работа №2. Математическая статистика

Задача 10. Обработка одномерной выборки

Условие задачи

По выборке одномерной случайной величины:

- получить вариационный ряд;

- построить на масштабно-координатной бумаге формата А4 график эмпирической функции распределения F*(x);

- построить гистограмму равноинтервальным способом;

- построить гистограмму равновероятностным способом;

- вычислить точечные оценки математического ожидания и дисперсии;

- вычислить интервальные оценки математического ожидания и дисперсии (γ = 0,95);

- выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины и проверить ее при помощи критерия согласия c2 и критерия Колмогорова (a = 0,05). График гипотетической функции распределения F0(x) построить совместно с графиком F*(x) в той же системе координат и на том же листе.

Необходимая для выполнения задачи выборка, объемом 49 значений одномерной величины, содержится в индивидуальном задании студента.

Методические указания

Генеральной совокупностью опыта называется множество объектов, из которых производится выборка. Выборка– множество случайно отобранных объектов (значений) из генеральной совокупности. Объемом выборки n называется число входящих в нее объектов.

Вариационным рядом называется выборка { }, полученная в результате расположения значений исходной выборки в порядке возрастания. Значения называются вариантами.

Оценка закона распределения

Эмпирическая функция распределенияслучайной величины X равна частоте того, что X примет значение меньшее, чем аргумент функции x, и определяется формулой

(10.1)

При эмпирическая функция распределения сходится по вероятности к теоретической функции распределения .

Интервальный статистический рядвероятностей строится по исходной выборке, если анализируемая случайная величина Х является непрерывной, и представляет собой следующую таблицу:

j Aj Bj hj nj A1 B1 h1 n1 M AM BM hM nM

Здесь j – номер интервала;

M – число непересекающихся и примыкающих друг к другу интервалов, на которые разбивается диапазон значений :

(10.2)

где int(x) – целая часть числа x . Желательно, чтобы n без остатка делилось на M;

Aj, Bj – левая и правая границы j-го интервала ( – интервалы примыкают друг к другу), причем , ;

– длина j-го интервала;

- количество чисел в выборке, попадающих в j-й интервал,

– частота попадания в j-й интервал; .

– статистическая плотность вероятности в j-м интервале.

При построения интервального статистического ряда вероятностей используют следующие методы разбиения диапазона значений на интервалы:

1) равноинтервальный, т.е. все интервалы одинаковой длины:

(10.3)

2) равновероятностный, т.е. границы интервалов выбирают так, чтобы в каждом интервале было одинаковое число выборочных значений (необходимо, чтобы n без остатка делилось на M):

(10.4)

Гистограмма строится по интервальному статистическому ряду и представляет собой статистический аналог графика плотности вероятности случайной величины. Гистограмма – совокупность прямоугольников, построенных, как на основаниях, на интервалах hjстатистического ряда с высотой, равной статистической плотности вероятности в соответствующем интервале. Для равноинтервального метода все прямоугольники гистограммы имеют одинаковую ширину, а для равновероятностного метода – одинаковую площадь. Сумма площадей всех прямоугольников гистограммы равна 1.